2022年全国高考数学Ⅰ卷第9题：
(多项选择题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则()
A.直线BC1与DA1所成的角为90°
B.直线BC1与CA1所成的角为90°
C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°
D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45°
一、试题分析
本题取材朴实，情景熟悉，位于多项选择题首位，虽整体难度不大，但区分度较好，属基础题.考查内容为异面直线所成的角、三垂线定理、直线与平面所成的角等.选择支解题方法较多，题目所涉及的图形需自画，要有最基本的作图能力.
【答案】ABD
【解析】
1.选项A
考查目标为异面直线所成的角.处理办法一般有四种，即①定义法;②位置法;③向量法;④坐标法.在该选项中，最好的处理办法是定义法，简单快捷，准确高效.
①定义法：如图1(1)，通过观察知道DA1∥CB1，且CB1⊥BC1，如图1(2)，故直线BC1与DA1所成的角为90°，结论A正确.
②位置法：如图1(2)，借用线面垂解决.∵BC1⊥平面CDA1B1(可证)，如图1(2)，且A1D平面CDA1B1，故A1D⊥C1B，可得结论A正确.
图1(1)图1(2)
③向量法：如图1(1)，借用向量运算处理解决.A1D=A1A+AD，C1B=C1C+CB，∵A1D·C1B=A1A+AD·C1C+CB=1+0+0-1=0，故A1D⊥C1B，所以结论A正确.
图2④坐标法：如图2，建立空间直角坐标系D-xyz.设正方体的边长为1.则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，C1(0，1，1).
A1D=(-1，0，-1)，C1B=(1，0，-1)，由A1D·C1B=-1×1+0×0+(-1)×(-1)=0知，A1D⊥C1B，所以结论A正确.
2.选项B
仍然考查异面直线所成的角的求解方法，除前面所说的四种方法外，处理该选项最好的办法是用三垂线定理，简单快捷，准确高效，其它方法这里省略，留给读者思考.
图3三垂线定理法：如图3，对于平面BCC1B1而言，因为A1B1⊥面BCC1B1，所以斜线A1C在其面内的射影为B1C.因为B1C⊥BC1，故直线BC1与CA1所成的角为90°(影垂则斜垂)，所以结论B正确.
此处多说一下定义法求解，平移时方向分为内收与外展，故解法不惟一.下面就内收(如图4(1))与外展(如图4(2))的图形各给出一个.
平移后，只需求出图4(1)中的∠EOC的大小或图4(2)中的∠D2A1C的大小即可，后续求解留给读者完成.
图4(1)图4(2)
3.选项C
处理直线与平面所成的角，一般有三种办法，①定义法;②向量法;③坐标法.该选项应釆用简单快捷、准确高效的定义法.
图5(1)图5(2)图5(3)
如何求直线BC1与平面BB1D1D所成的角呢?如图5(1).依课本定义，须找直线BC1在平面BB1D1D内的射影，这是关键的一步.连接A1C1交B1D1于G，连接BG，由于A1C1⊥面BB1D1D(易证)，故BG为BC1在平面BB1D1D内的射影，则∠GBC1的大小即为所求(定义法)，如图5(2) .如何解出这个角的大小呢?只需盯着Rt△GBC1中的∠GBC1这一目标，可令正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则GC1=2，BC1=22，故∠GBC1=30°，故答案C错误.
4.选项D
考查目标为直线与平面所成的角，如图5(3).直线BC1在平面ABCD内的射影为现有的直线BC，故∠CBC1即为所求.易得∠CBC1=45°，故答案D正确.
综合来看，本题平淡朴实，上手较易.依托正方体图形，考查空间想象能力与数学基本概念、基础知识与基本方法，立足本源，依源求真.试题紧扣基础，情景虽然熟悉喜爱，大家皆可作答，但各自采用的解法差异，故所需时间各异，得分有别，应有较好的区分度，是一道很好的多项选择题.感悟有：
1.基础决定高度，基础决定效率.基础(包括作图)好的同学自然受益;
2.用好三垂线定理能更易更快更准;
3.方中有数，平淡为真.
其实，在历年高考数学试题中，紧扣课本，以正方体为载体的试题不少，下面略举几例.
二、方中有数
例1.(2021年全国高考数学Ⅱ卷第10题，多选题)如图6，下列各正方体中，O为下底的中点，M，N为正方体的顶点，P为所在棱的中点，则满足MN⊥OP的是()
图6
【答案】BC
【解析】
如图7，本题考查线线位置关系，最好的办法就是三垂线定理，影垂则斜垂.简单说明如下：
由于直线PQ在直线MN所在的各个平面内的射影中，只有选项B、C中的PD、EF与MN垂直，由三垂线定理知，选项BC正确.
图7
此题三垂线定理的功效得以体现，它法次之.
例2.(2021年全国高考数学浙江卷第6题，单选题)
图8如图8，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则()
A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
【答案】A
【解析】本题考查线线位置关系及线面位置关系，用好三垂线定理与线面平行的判定定理即可.简单说明如下：
图9如图9，连接D1A，则D1A是直线D1B在平面ADD1A1内的射影，由三垂线定理知，直线A1D与直线D1B垂直;在三角形AD1B中，因为MN为中位线，故MN∥AB，根据线面平行的判定定理可得：直线MN//平面ABCD.故选项A正确.
图10图11例3.(2020年新高考Ⅰ卷改编)如图10，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°.以D1为球心，R(3≤R≤22)为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长的最大值为.
【答案】π.
【解析】如图11，取B1C1的中点为E，因为∠BAD=60°，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，所以△D1B1C1为等边三角形，所以D1E=3，D1E⊥B1C1，又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥D1E，因为BB1∩B1C1=B1，所以D1E⊥侧面B1C1CB.设P为侧面B1C1CB与球面的交线上的点，则D1E⊥EP，因为球的半径为R，D1E=3，所以
直击圆锥曲线易错点安徽省太湖中学李昭平
圆锥曲线是高中数学的重要内容之一，它涉及面广、运算量大、综合性强，解题中往往会出现这样或那样的错误，有的错误还不易察觉.现列举六大易错点，后期复习注意防范.
易错点1.忽视对参数的分类讨论
例1.已知双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，两个顶点之间的距离是8，求双曲线的标准方程.
错解： 由题意可设双曲线的标准方程是9x2-4y2=k(k≠0),
即x2k9-y2k4=1.于是,8=2k3，解得k=144.故双曲线的标准方程是x216-y236=1.
剖析：本题误认为k>0，漏掉k<0的情形，因忽视对参数k的分类讨论致错.k的符号决定了顶点在x轴上还是在y轴上.带有参数的圆锥曲线标准方程，参数值将影响焦点、顶点、长轴、长轴、短轴、实轴、虚轴的位置，要做到周密思考，注意对参数的分类讨论.
正解：当k>0时，就是上述解答.
当k<0时，方程为y2-k4-x2-k9=1.于是8=2-k2，解得k=-64.
故双曲线的标准方程是x216-y236=1或y216-x2649=1.
易错点2. 忽视轨迹的纯粹性
例2.椭圆x2+3y2=1中斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是.
错解： 设平行弦的两个端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21+3y21=1，
x22+3y22=1，
相减得，(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0，所以y1-y2x1-x2·y1+y2x1+x2=-13，
即2·2y2x=-13，x+6y=0.
故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是x+6y=0.
剖析：椭圆弦的中点应该在椭圆内部，其轨迹直线x+
EP=D1P2-D1E2=R2-3，所以侧面B1C1CB与球面的交线是扇形EFG的弧，根据弧长公式f(R)=αrr=EP=R2-3得：
f(R)=πR2-3，3≤R≤2
π-2arccos1R2-3R2-3，2≤R≤7
2π2-arccos1R2-3-arccos2R2-3R2-3，7
由此，原高考题中R=5时，代入得f5=22π.
当3≤R≤22时，侧面B1C1CB与球面的交线变化过程的平面图如图12，由上面的函数关系式可知，当R=2时，f(R)max=f(2)=π.f(R)∈[0，π].对应的函数图像如下图13.
图12图13
除了选择、填空题外，以正方体为载体的大题也在高考数学中出现过，如2021年全国高考数学北京卷第17大题，2020年全国高考数学北京卷第16大题等，这些留给读者后面仔细去品味了.
正方体是日常生活中最常见、最熟悉的几何图形，涵含着丰富的空间元素与空间想象，是考查空间想象能力的绝好载体!些题又一次再现了命题人的“摘叶飞花”的功夫与“大道至简”的道理，抓住了数学的本与源，根和魂.正可谓：方中有数，平淡为真.责任编辑 徐国坚6y=0上不在椭圆内的均为暇点(有无数多个).本题因忽视轨迹的纯粹性致错，必须去掉这些暇点.
正解： 同上得到x+6y=0. 联立x2+3y2=1
x+6y=0解得，x=±23913.
故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是x+6y=0-23913
易错点3. 忽视直线与圆锥曲线是否相交
例3.过点P(0，2)作斜率为k的直线l交椭圆x23+y22=1于点P1，P2， 当k为何值时， 线段P1P2的中点在直线x=1上?
错解： 由题意可设l的方程为y=kx+2.
联立 x23+y22=1,
y=kx+2, 消去y,得(2+3k2)x2+12kx+6=0.显然2+3k2≠0.
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 则x1+x2=-12k2+3k2=2，即3k2+6k+2=0，
解得k=-1±33.故k=-1±33时，线段P1P2的中点在直线x=1上.
剖析：消元后的二次方程(2+3k2)x2+12kx+6=0根的判别式Δ=3k2-2，Δ的符号依赖于k的取值. 应该考虑k能否使△>0， 即直线l是否与椭圆有两个交点.本题因忽视直线与圆锥曲线是否相交致错.
正解： 同上得到，k=-1±33.
由Δ=3k2-2>0,得k<-63或k>63， 显然k=-1-33适合，而k=-1+33不适合，应舍去. 故k=-1-33时，线段P1P2的中点在直线x=1上.
易错点4. 忽视图形位置的多种情形
例4. 抛物线y2=4px(p>0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若ΔOPF为等腰三角形，则这样的点P的个数有()
A.2个B.3个C.4个D.6个
错解：因为ΔOPF为等腰三角形，所以PO=PF，点P在线段OF的中垂线上，点P的位置有两个.故选A.
剖析：本题误认为PO=PF，而忽视OP=OF，FO=FP两种情形致错.圆锥曲线中有很多动态图形的位置是不定的，注意全方位思考，否则极易漏解.
正解：由于ΔOPF是等腰三角形，则有下列三种情形：
(1)当PO=PF时，就是上述解答.
(2)当OP=OF时，点P的位置也有两个.
(3)当FO=FP时，点P不存在.
事实上，若设P(x0，y0)，则FO=FP就是x0+p=p，x0=0，不构成三角形.
综上知，满足条件的点P有4个，故选C.
易错点5. 忽视对直线斜率是否存在或是否为零进行讨论
例5.已知定圆A：(x+3)2+y2=16的圆心为A，动圆M过点B(3，0)，且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点P(x0，y0)为曲线C上一点，试探究直线l：x0x+4yy0-4y0=0与曲线C是否存在交点?若存在，求出交点坐标;若不存在，请说明理由.
错解： (1) 利用椭圆的定义易得曲线C的方程为x24+y2=1.
(2)由x0x+4yy0-4y0=0,得y=4y0-x0x4y0，联立方程组y=4y0-x0x4y0，
x24+y2=1，消去y,得(4y20+x20)x2-8x0y0x=0……①
由点P(x0，y0)在曲线C上，得x204+y20=1，即4y20+x20=4.于是方程①可以化简为4x2-8x0y0x=0，解得x=0，或x=2x0y0.将x=0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=1;将x=2x0y0代入方程y=4y0-x0x4y0得y=2-x202.
故直线l与曲线C总有两个交点(0，1)，(2x0y0，2-x202).
剖析： 本题中直线x0x+4yy0-4y0=0的斜率是否存在，依赖于y0是否为零，必须分类讨论，否则无法解方程组x204+y20=1，
x0x+4yy0-4y0=0，在处理直线方程问题时，要注意对直线方程各种形式中斜率存在、不存在和斜率是否为零等情况的讨论.
正解： 当y0≠0时， 就是上述结果.
当y0=0时，由x204+y20=1可得x0=±2. 此时直线l的方程为：x=0，与曲线C有两个交点(0，1)，(0，-1).显然y0=0时，y=2-x202=-1.
综上知，直线l与曲线C总有两个交点(0，1)，(2x0y0，2-x202).
易错点6. 忽视题目中的隐含条件
例6.直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C：x24+y2=1交于A，B两点，P为椭圆C的下顶点，且PA=PB，求实数m的取值范围.
错解： 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2+4y2-4=0，
y=kx+m，消去y得到，x2+4(kx+m)2-4=0，即(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0.则x1+x2=-8km1+4k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+4k2，弦AB中点M的坐标是(-4km1+4k2，m1+4k2).
由Δ=64k2m2-16(m2-1)(1+4k2)>0，得4k2m2-(m2+4k2m2-1-4k2)>0，即1+4k2>m2.
另一个方面，直线PM的方程是y=-1kx-1.点M(-4km1+4k2，m1+4k2)在此直线上，得到m1+4k2=-1k(-4km1+4k2)-1，整理得，3m=1+4k2.代入1+4k2>m2中，m2-3m<0，0
故实数m的取值范围(0，3).
剖析：设点设线、联立消元、韦达定理、根的判别式、条件转换、建立方程或不等式等等， 是处理圆锥曲线综合题的基本方法，本题都做到了. 但在最后求实数m的取值范围时，仅考虑k，m应满足的不等式1+4k2>m2，而忽视k，m应满足的方程3m=1+4k2这一个重要的隐含条件致错.
正解： 同上得到，01，k≠0，所以3m>1，m>13.
故实数m的取值范围(13，3).
训练1： 已知定圆A：(x+1)2+y2=8，动圆M过点B(1，0)，且和圆A相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹E的方程;
(2)若直线l：y=kx+m(k≠0)与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点N(0，-12)，求实数m的取值范围.
易错点： 易忽视椭圆的定义这个隐含条件，使运算复杂;易忽视参数k，m满足的方程这个隐含条件.
解析：(1)圆A的圆心为A(-1，0)，半径r1=22.
设动圆M的半径为r2，依题意有r2=|MB|.由|AB|=2，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故|MA|=r1-r2，即 |MA|+|MB|=22>2. 所以动点M的轨迹E是以A、B为焦点，长轴长为22的椭圆.
因为a=2，c=1，所以b2=a2-c2=1.于是E的方程是x22+y2=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立x2+2y2-2=0
y=kx+m消去y得到，x2+2(kx+m)2-2=0，即(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
则x1+x2=-4km1+2k2，y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2，弦AB中点M的坐标是(-2km1+2k2,m1+2k2).
由Δ=16k2m2-8(m2-1)(1+2k2)>0得， 1+2k2>m2.
另一个方面，直线PM的方程是y=-1kx-12.点M(-2km1+2k2，m1+2k2)在此直线上，得到m1+2k2=-1k(-2km1+2k2)-12，整理得，2m=1+2k2.代入1+2k2>m2中，m2-2m<0，01，k≠0， 所以2m>1，m>12.
故实数m的取值范围是(12，2).
训练2： 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，求证：1|AF|+1BF为定值.
易错点：易忽视直线斜率不存在情形的证明.
证明：(1)若直线AB的斜率不存在，则AB⊥x轴， AB是抛物线的通经.所以AF=BF=p，于是1AF+1BF=1p+1p=2p.
(2) 若直线AB的斜率存在，设为k(k≠0)，直线AB的方程为y=k(x-p2).代入y2=2px得，k2(x-p2)2=2px， 即k2x2-(k2p+2p)x+14k2p2=0. 所以x1+x2=k2p+2pk2，x1·x2=14p2.由抛物线的焦半径公式有AF=x1+p2，BF=x2+p2.于是
1AF+1|BF|=1x1+p2+1x2+p2
=x1+x2+px1·x2+p2(x1+x2)+14p2=k2p+2pk2+p14p2+p2·k2p+2pk2+14p2
=4k2p+4pp2k2+k2p2+2p2=4p(k2+1)2p2(k2+1)=2p.
责任编辑：徐国坚
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