抛物线两点弦方程在高考中的应用

  直线与抛物线的综合问题是高考中的常见题型,在选择题、填空题、解答题中都是命题的热点. 它的一般解法是联立直线与抛物线的方程,借助于一元二次方程的判别式、根与系数的关系进行求解. 对于过抛物线上两点的直线方程问题,如果能够借助抛物线的方程特点,借助抛物线的两点弦的方程进行求解,往往能够达到事半功倍的效果,大大减少运算量,下面通过对2021年高考中的一个道抛物线综合试题,来谈谈抛物线的两点弦的方程在解题中的应用.

  一、试题呈现

  【2021年高考全国数学甲卷理数21题】抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l ∶ x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ. 已知点M(2,0),且⊙M与l相切.

  (1)求C,⊙M的方程;

  (2)设A1, A2,A3是C上的三个点,直线A1 A2,A1 A3均与⊙M相切. 判断直线A2 A3与⊙M的位置关系,并说明理由.

  二、试题分析

  本题问题设计的梯度明显,第(1)求抛物线方程和圆的方程,属基础题;第(2)问探究直线与圆的位置关系,设问方式具有开放性,难度较大,考查直线与圆的位置关系,直线与抛物线的综合应用,考查考生数学学科核心素养和关键能力,突出试题的选拔功能. 考查的数学思想方法有函数与方程的思想,数形结合的思想,化归与转化的思想,涉及的数学核心素养有直观想象,数学运算,逻辑推理. 在解题方法上,第(2)问几何元素较多,有三条直线、一个圆、一条抛线,变量也比较多,如果设常规的直线方程进行计算,解析化后的变量转化难度大,运算量大;如果设抛物线的两点弦的方程则可以很好地化解运算难点. 该题的命题背景为彭赛列闭合定理,根据彭赛列闭合定理,如果圆锥曲线存在一个内接三角形使得某个给定圆为其内切圆,则该圆锥曲线上存在无数个内接三角形均以这个圆为内切圆. 根据此定理,该题的结论可以在其它圆锥曲线上进行推广和改编.

  三、试题解析

  (1)抛物线C的方程为y2=x,⊙M的方程为(x-2)2 +y2=1;

  解法一:常规解法

  (2)依题意可设A1(a2, a) ,且A1 A2,A1 A3,A2 A3均不平行于x轴.

  设过点A1且与⊙M相切的直线方程为x=m(y-a)+a2,

  则圆心M到直线的距离为d0=■=1,

  整理得:(a2-1)m2-2a(a2-2)m+a4-4a2+3=0……①

  依题意得直线A1 A2,A1 A3对应的m存在,设为m1,m2,

  则m1+m2=■,m1m2=■,

  将A1 A2:x=m1(y-a)+a2代入抛物线C的方程化简得:y2-m1y+m1a-a2=0,

  由a+y1=m1,得y1=m1-a,所以A2((m1-a)2,m1-a),同理A3((m2-a)2,m2-a),

  所以直线A2 A3的斜率k=■=■=■,

  所以直线A2 A3的方程:y-(m1-a)=■[x-(m1-a)2].

  圆心M到A2 A3的距离:d=■=■.

  结合①式得d=■=1=r,所以直线A2 A3与⊙M相切.

  【评注】把几何关系转化成代数关系,并利用代数方法解决问题是平面解析几何的核心方法,代数化的过程和变量的选择对代数运算的难度影响较大. 此解法通过设点A1 的坐标及直线A1 A2,A1 A3的方程,通过联立方程组的方法求得A2,A3的坐标,从而得到直线A2 A3的方程,并判断与⊙M的位置关系,解题思路自然,但是运算量偏大. 因为直线A1 A2,A1 A3均不平行于x轴,过点A1 的直线方程设为x-x0=m(y-y0),可以避免对直线斜率是否存在的讨论,也是一种常用技巧.

  解法二:利用抛物线的两点弦的方程

  首先来推导一下抛物线的两点弦的方程

  设抛物线y2=2px上的两点M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1=■,x2=■,

  则当直线MN的方程为: (y-y1)■-■=(y2-y1)x-■,

  即(y-y1)(y2+y1)(y2-y1)=2p(y2-y1)x-■,

  即(y-y1)(y2+y1)=2px-■,

  即(y1+y2)y-y1y2=2px.

  当抛物线方程为x2=2py时,过抛物线线上两点M(x1,y1),N(x2,y2)的直线方程为(x1+x2)x-x1x2=2py.

  上述两个方程为抛物线的两点弦的方程,这两个方程结构简单,只与抛物线上点的纵(横)坐标有关,在涉及抛物线两点弦的问题中可以起到减少变量,减少运算量,提升解题速度的作用,考场应用这两个公式时需要有简单的推导过程,下面用抛物线的两点弦的方程解上述高考题.

  【解析】依题意可设A1(x0,y0),A2(x1,y1),A3(x2,y2).

  则直线A1 A2的方程为(y0+y1)y-y0y1=x,由相切知d0=■=1,

  化简得(y02-1)y12+2y0y1+3-y02=0,同理得(y02-1)y22+2y0y2+3-y02=0,

  所以y1,y2为方程(y02-1)y2+2y0y+3-y02=0的两个根.

  所以y1+y2=■,y1y2=■,

  直线A2 A3的方程为(y1+y2)y-y1y2=x,

  圆心M到A2 A3的距离:d=■=■=■=1=r,

  所以直线A2 A3与⊙M相切.

  【评注】上述解法借助抛物线的两点弦的方程,把己知条件中的几何关系转化成三个点的纵坐标的关系,大大减少了的运算量,体现了抛物线的两点弦的方程在解题中的优越性,大大提高了解题的正确率.

  四、变式训练

  变式训练1.【2020年八省联考数学第7题】已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线,则直线BC的方程为( )

  A. x+2y+1=0 B. 3x+6y+4=0

  C. 2x+6y+3=0 D. x+3y+2=0

  【解析】依题意得抛物线方程为y2=2x,设B(x1,y1),C(x2,y2).

  则直线AB的方程为(2+y1)y-2y1=2x,由相切知d0=■=1,

  化简得3y12+12y1+8=0,即3x1+6y1+4=0,同理得3x2+6y2+4=0,

  所以BC的方程3x+6y+4=0,故选B.

  【评注】2020年八省联考的这一道选择题和2021年全国甲卷的这一道高考题为同源试题,这两道题不仅在试题的呈现,考查内容,解题方法上都比较类似,应用抛物线的两点弦的方程可以快速求得答案.

  变式训练2. 在平面直角坐标系xOy中,动圆P过点F(1,0),且与直线l ∶ x=-1相切,设圆心P的轨迹为曲线C.

  (1)求曲线C的方程;

  (2)己知点A(3,2),B(7,10),直线PA与曲线C交于P,M两点,直线PB与曲线C交于P,N两点,直线MN是否过定点?若是,求出该定点的坐标,若不是,说明理由.

  【解析】(1)曲线C的方程:y2=4x

  (2)设P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2).

  则直线PM的方程为(y0+y1)y-y0y1=4x,代入点A(3,2)得2(y0+y1)-y0y1=12①,

  则直线PN的方程为(y0+y2)y-y0y2=4x,代入点B(7,10)得10(y0+y2)-y0y2=28②,

  由①得y0=■,代入②式得10■+y2-■×y2=28,

  化简得(y1+y2)-y1y2=-8③,

  直线MN的方程为(y1+y2)y-y1y2=4x,

  结合③式得直线MN经过定点(-2,1).

  【评注】本题是圆锥曲线中的定点定值问题,考查的知识点有求轨迹方程,直线与抛物线综合问题,考查的数学思想方法有数形结合的思想,化归与转化的思想,函数与方程的思想.题目有三条抛物线的弦,利用常规方程求解困难较大,借助抛物线的两点弦的方程可以化繁为简,快速求解.

  五、总结

  数学运算的素养是解析几何试题的一项重要的考查内容,数学运算素养包括理解运算对象,探究运算方向,选择运算的方法,设计运算程序,求得运算结果等. 解析几何试题的解题过程一般可分为以下几步:一是灵活引入变量,把问题代数化;二是设计运算流程;三是选择最优路径并进行求解. 近几年高考全国卷解析几何试题的解题思路一般比较容易获取,但是代数运算过程一般比较复杂,而且不同的变量引入往往对运算难度有较大的差异,所以如何正确引入变量,对解题有很大的帮助. 抛物线的两点弦的方程是抛物线的弦特有的一种直线方程的形态,在求抛物线的弦的斜率问题、直线方程、定点定值问题中有着广泛的应用,熟练掌握抛物线的两点弦的方程在解题中的应用方法,对解决与抛物线的弦有关的问题有着很大的帮助.

责任编辑:徐国坚